東京大学前期 1971年第4問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} の整式

についてが成り立つことを証明せよ．

方程式は，が奇数ならばただつの実根をもち，が偶数ならば実根を持たないことを数学的帰納法を用いて証明せよ． \end{oframed}

【解】

まず前半部について，のとき，

であるから示された．

そこで後半部を考える．

P:方程式$f_n(x)=0$は，$n$が奇数ならばただ$1$つの実根をもつ．
また$n$が偶数ならば$y=f_n(x)>0$である．

として，命題を帰納的に示す．まずのとき，

が$P$を満たすことは明らかである．そこで$k\in\mathbb{N}$に対し$n=2k-1,2k$での$P$の成立を仮定する．
\begin{indentation}{2\zw}{0pt}
  \underline{(i)$n=2k+1$のとき}

  [(式3)](#eq:1)および仮定から$f'_{2k+1}=f'_{2k}(x)>0$だから$y=f_{2k+1}$は単調増加．
  また連続で$\dlim{x}{\pm\infty}f_{2k+1}(x)=\pm\infty$(複合同順)であるから，中間値の定理より
  $f_{2k+1}(x)=0$なる実数$x$がただひとつある．ここで$f_{2k+1}(0)=1$から$x\not=0$である．

  \underline{(ii)$n=2(k+1)$のとき} 

  [(式3)](#eq:1)から$f'_{2(k+1)}(x)=f_{2k+1}(x)$であり，  $n=2(k+1)$の時の考察から，$f_{2k+1}(a)=0$
  なる実数$a$がただひとつあって下表を得る．

  故に

  である．
\end{indentation}

以上から$n=2k+1,2(k+1)$でも$P$が成り立つことが示された．故に任意の$n$で$P$は成立する．
$P$が示されたので，題意が従う．$\Box$

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【解】