東京大学 前期 1971年 第2問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 正数を与えて，

のように数列を定める時，

1. ならば，となることを証明せよ．

2. ならば，となることを証明せよ．このとき，正数をより 小となるようにとって，までが以下となったとすれば， 個数について次の不等式が成り立つことを証明せよ．

\end{oframed}

【解】

1. 与えられた漸化式より，

   である．ならば，だから，漸化式より帰納的に である．これと(式4)より題意は示された．

2. 漸化式およびから，であることに注意すると，はの単調増加関数である． ならばである．そこで以下に対してが成立すると仮定すると

   故に帰納法によりとなる．

   次に，後半部分を考える．題意より

   である．第一式から，が保証される．

   ここで，漸化式より，のとき，

   となる．について和をとって，

   前半部分からだから，

   となって，題意の不等式を得る．