東京大学 前期 1972年 第5問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} はで回微分可能なある関数で，がどのような一次関数であって も，とおけば，

および

が成り立つ．このとき，を求めよ． \end{oframed}

【解】

をなどと略記する．題意の条件から

まず，1でとして,3から

ここでは任意の一次関数だからとはならないので(例えば)

である．

1の両辺をで微分する．

さらに微分して

2を代入して

は任意の一次関数で，として，(式6)にを代入したとき両辺で割ることにより，のみ考えれば良いことがわかる．実際に代入して

これがについての恒等式だから係数比較して，

となる．5を6に代入して

これがについての恒等式だから，が従う．(式2)と合わせて

である．これが1，2，3を満たすことは容易に確かめられる．ゆえに求める関数は

である．(答)