東京大学前期 1973年第3問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 区間において次のように定義された関数がある．

いま実数に対して，区間における関数の最大値から最小値を引いた値をとおく．このとき次の問いに答えよ．

がすべての実数に渡って動くとき，の最小値を求めよ．
の最小値を与えるようなの値を求めよ．

\end{oframed}

【解】

とおく．

である(は連続)．の値によって以下のようになる．

\begin{indentation}{2\zw}{0pt} \underline{(i)の時}

$g(x)$は増加関数だから，

\underline{(ii)$0\le a\le 1$の時}

$g(x)$のグラフの概形は下図．

\begin{zahyou}[ul=10mm](-0.5,3.5)(-0.5,2.5)
  \def\Fx{1-X/4}
  \def\Gx{3*X/4-1}
  \def\aval{1}
  \def\bval{2}
  \def\cval{3}
  \YGurafu\Fx{1}{2}
  \YGurafu\Gx{2}{3}
  \YTen\Fx\aval\A
  \YTen\Fx\bval\B
  \YTen\Gx\cval\C
  \Put\A[syaei=xy,xlabel=1,ylabel=1-a]{}
  \Put\B[syaei=xy,xlabel=2,ylabel=1-2a]{}
  \Put\C[syaei=xy,xlabel=3,ylabel=2-3a]{}
\end{zahyou}

また

であるから，

\underline{(iii)$1\le a$の時}

$g(x)$は減少関数だから，

\end{indentation}

以上から，である．(答)

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【解】