東京大学 前期 1975年 第3問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 直線に第一象限において接する放物線がある．この放物線と軸の正の部分とで囲まれる図形の面積が最大とな る時の，の値とその場合の面積を求めよ． \end{oframed}

【解】

である．まず，直線の式でであるから，となる．方程式からを消去した

がに重解を持つ．判別式として

  第一式から$a>0$であるから，($\because a\not=0$)
  

        この時，放物線の概形は下図のようになる.
        
          \scalebox{0.5}{\includegraphics{ut-75-3.eps}}
        

        題意の面積$S$として
        

        である．以下[(式5)](#eq:1)の下でこの最大値を考えれば良い．[(式5)](#eq:1)を代入して
        

        ここで$b>1$の時，AM-GMから
        

        である．等号成立は$\cfrac{3}{b+1}=\cfrac{b}{b+1}\Longleftrightarrow b=3$の時．これは[(式5)](#eq:1)を満たす．従って[(式9)](#eq:2)
        に代入して
        

        である．等号成立は[(式5)](#eq:1)から$(a,b)=(1,3)$の時である．$\cdots$(答)