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東京大学 前期 1978年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1978年 第4問 (解答解説)

📝 問題

行列に対し，次の問に答えよ．\ 任意の整数に対して，を数学的帰納法を用いて求めよ．

また，与えられたに対し とおくとき， 極限， を求めよ． ただしとする．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

単位行列を とおく．ケーリー・ハミルトンの定理から，

である．したがって， に対してを考えると

式

なる漸化式を満たす．

ここで，数列 が を満たすとき，その一般項は を定数として

で与えられることに注意する．

，および に注意する．ここで

であることを帰納的に示す．まず の時は初項と比較して成立する． そこで での(式8)の成立を仮定すると， (式5)からは

となり， でも(式8)は成立する． 以上より数学的帰納法により(式8)が示された．

したがって求めるの一般項は

である．

(2)

(式8)よりは

だから，簡単のために とおくと，

である． () においてが非零かどうかで場合分けする．

のとき

この時は(式13),(式14)より

および

である．

のとき

を直接(式13),(式14)に代入して

だから， となる．

以上をまとめて，

のときのとき

となる．

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