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東京大学 前期 1978年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1978年 第1問 (解答解説)

📝 問題

半径1の円 の周を6等分する点を図のように順次 とする．

弧 および半径 ， に接する円の中心を とし， この円 の周と線分 の交点を とする． 線分 上に をみたすように点 を定める． を中心とし を半径とする円周と円 の交点のうちで， 直径 に関し点 と同じ側にあるものを とする．

このとき四辺形 は平行四辺形であることを証明せよ． また弧 ，弧 ，弧 によって囲まれた領域(図の太線で囲まれた部分)の面積を求めよ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

円 $O$ と円 $P$，平行四辺形 $OPCQ$ および求める領域（斜線部）

図 1: 円 と円 ，平行四辺形 および求める領域（斜線部）

が平行四辺形であることを示すには，，であることを示せば良い． を中心とする円の半径を とする．すると題意より

だから，二つ目の円の半径は

である．従っての決定方法から

が従う．(式1),(式2),(式3)より

となって，は平行四辺形である．

以下，題意の領域の面積を求める． そのためにまずを計算する．半径の円との交点をとする． において，

とが計算できる．

は以下のような図形の和・差に分解して考えられる．

面積 $S$ の分解図

図 2: 面積 の分解図

各部分の面積は以下のように計算できる．

扇形半円扇形扇型

だから，(式9),(式10),(式11),(式12)をに代入して

を得る． (式8)より だから代入して

が求める面積である．

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