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東京大学 前期 1978年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1978年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を放物線とする． 上の点を通り， におけるの接線と垂直な直線を， におけるの法線という．

  1. 平面上の点でを通るの法線が一本だけ引けるようなものの存在範囲を求め， 平面上に図示せよ．

  2. (1)で求めた範囲と 放物線の内部(不等式の定める範囲)の 共通部分の面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた曲線の関数を

とおく．一階微分は

だから，における法線は

である．

放物線 $y = f(x)$ 上の点 $C(t, f(t))$ における法線と通過する点 $P(X, Y)$

図 1: 放物線 上の点 における法線と通過する点

(1)

点とおく．放物線では接点が異なれば法線が異なるから，点Pに対して(式4)を満たすがただ一つ存在すればよい．そこで(式4)にを代入して

について考える．一階微分は

だから，の値に応じての挙動は以下のように変化する．

(i)の時

この時は(式6)よりだからは単調増加である． は次関数だからは唯一つ解を持つ．

(ii)の時

この時は(式6)は必ず二つの零点をもち，の増減表は以下のようになる． ただしとおいた．

極大極小

表 1: の増減表

従って，のグラフの概形は下図のようになる．

$Y > 0$ における $y = g(t) = 9t^3 - 6Yt - 2X$ の概形

図 2: における の概形

図よりがただ一つの解を持つ条件は

である．ここで(式5)から

であるから，(式7)に代入して

である．以上から求める条件は

以上から，求める領域は，

式

であって，図示すると下図斜線部(境界含む)である．((1)の答)

法線がただ1本存在する点 $P(X, Y)$ の動く領域（斜線部，境界を含む）

図 3: 法線がただ1本存在する点 の動く領域（斜線部，境界を含む）

(2)

この領域の対称性からの部分の面積とすると，求める面積との関係は

である．とのでの交点は，

である．このときである．よってグラフの概形は下図の斜線部となる．

放物線 $y = f(x)$ と曲線 $x = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}$ で囲まれた領域（求める面積 $S = 2S_1$）

図 4: 放物線 と曲線 で囲まれた領域（求める面積 ）

さて，のとき

に注意してを計算すると

であるから，(式12)に代入して求める面積は

である．((2)の答)

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