東京大学前期 1984年第3問 (解答解説)

【解答】

与えられた関数

について考える．をで割っていくことを考えれば任意の次多項式は，実数を用いて

とおける．

がで割り切れるには，が必要十分であるが， (式1)からを(式2)に代入してこの条件は

である．よって(式2)に代入して

と書ける．よって必要性は示された．

次にが(式4)と書ける時，となるからはで割り切れて十分である．以上から題意は示された．

がで割り切れるには，が必要十分である．(式1)よりだから (式2)に代入して

だから，たしかに () を書けることが必要である．逆に，このように書ける時，(1)と同様にして十分である．以上から題意は示された．

少し本解とは異なる方向性の証明を(1),(2)で示す．

まずは十分性について考える．(式1)ををベースに展開すると，二項定理より

である．従っては以上の項しか持たないからで割り切れる．よって十分である．

次に必要性について，数学的帰納法で証明する．の時は自明である．の時に題意が真だと仮定して，について考える．次のは次以下の整式として

と表せる．この時，が共にで割り切れるので，もで割り切れる．よって仮定から

と表せるのででも成立する．よって数学的帰納法により示された．

(1)とほぼ同じなので十分性についてだけ考える． (式8)をの展開式に代入して

だから，これをでわったあまりは，の時の項だけが残って

である．これがであるので

だから，十分性は示された．