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東京大学 前期 1986年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1986年 第3問 (解答解説)

📝 問題

  1. 空間において， 三点， ， を通る平面に垂直で， 長さ1のベクトルをすべて求めよ．

  2. 二点，を通る直線を軸として， 平面を回転して得られるすべての平面を考える． このような平面に垂直で長さ1のベクトルの成分の絶対値はと共に変化するが， その最大値および最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

平面 $S_0$ を張るベクトル $\vec{p}, \vec{q}$ とその単位法線ベクトル $\vec{n}_0$（および回転軸 $l$）

図 1: 平面 を張るベクトル とその単位法線ベクトル （および回転軸 ）

は2ベクトル

のはる平面と平行である．この法線ベクトルの一つに があるから，もとめる法線ベクトルは，として

とかける．からだから，

答

である．

(2)

$\vec{n}_0$ を軸 $\vec{l}$ の周りに回転させたときの円錐面と成す角 $\theta$

図 2: を軸 の周りに回転させたときの円錐面と成す角

の方向ベクトルを

とおく．をのまわりに回転した時に出来るベクトルがである． とのなす角をとすると，回転したとのなす角もでひとしいので，ベクトルの内積の定義より

である．ただしを用いた．

一方でにも同様に内積の定義より

だから，ここに(式3),(式4)を代入すると

である．(式9)を(式6)に代入して

である．

ここで とおいて(式10)に代入して

であり，またベクトルの大きさについてだから

である．(式11),(式12)を満たす実数を考えれば良い．

まず(式12)においてから，

である．(式11),(式13)をみたすを図示すると下図太線部である．

直線 $-X+Y=\pm\dfrac{1}{3}$ と円 $X^2+Y^2\le 1$ の交差線分（太線部）と $Y$ の最大・最小値

図 3: 直線 と円 の交差線分（太線部）と の最大・最小値

従って，この範囲では

より，求める最小，最大値は

答

である．

【別解】

(2)

$\vec{n}_0$ を軸 $\vec{l}$ の周りに回転させたときの円軌道と直交基底

図 4: を軸 の周りに回転させたときの円軌道と直交基底

を別の方法で表現する別解を示す．上に原点をとり，の終点が表す点をとする．対称性から，(式3)で複合正だけ考えれば良い． からに下ろした垂足をとする．正射影ベクトルの公式より

だから，

である．

さて，，に垂直な単位ベクトルの一つに があるので，をの周りに回転してできるベクトルの一般形は，パラメータとして

と表せる．従って成分は

だから，コーシー・シュワルツの不等式より

となり，

答

である．

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