【解答】
以下の解ではゲームが終了した場合は含めないものとする．ただし，ちょうど終わる時は含む．
(1)
図 1: じゃんけんによるベンチ移動ゲーム
回じゃんけんして同じベンチに座っているのは，ゲームが終了せず，かつ 2 人の勝ち数の合計が 回になっている時である．求める確率 は， に対して以下のようになる．
の時
この時はじゃんけんの回数が足りず，が隣あうことはないから，
である．
の時
この時は両者が隣あうためには引き分けがあってはならない．
よって 回とも引き分けがない時であるから，確率は
である．
の時
この時は両者がとなりあうための条件は，2 人の勝ちの合計が 回かつ，片方が先にゲームに勝たないこと．まず二人の勝ちの合計が回である確率は
である．ここでは勝ち負けが決まる時，は引き分けの時である．
次に片方が回目のじゃんけんですでにゲームに勝利している（かつ両者が同じベンチに座っている）のは，
回目のじゃんけんまでに片方が回勝利して，もう片方が回も勝たない，かつ回目も引き分けになっているケースだから
である．ここでは片方が回勝つ確率，は残りの回引き分ける確率，因子はどちらが勝つかの因子である．
よって求める確率は
である．
(式1),(式2),(式7)をまとめて， の時 ，又， の時もこれで良いから，
である．
(2)
は， の勝利回数を表す．合計のじゃんけんの回数は回だから
である．
また，移動回数は最大でも 回だから，
である．ただし，両者が同時にとなることはない．
以上(式9),(式10)のもとで考える．
まず の時，どちらも反対側の端のベンチまでは到達しないから，確率は回中回はが勝利し，回はが勝利し，残りの回は引き分けなので
である．
次に，またはでちょうどゲームが終了する場合を考える．
まずが勝利してとなる場合を考える．この時は，最後にゲームが終了することから，最初の回でとなっており，最後の回でが勝利する．任意のに対してをと書くと，この場合の確率は回目まででとなり（確率），最後の一回でが確率で勝つ時だから
である．
逆にが勝利してとなるのは，対称性より(式14)でとを入れ替えて
である．
以上(式12),(式14),(式15)をまとめて
である．
(3)
およびの時を考える．
まだゲームの勝敗が決まらないということは，の移動回数をとしたときにであるということである．(2)のは(式9)の元で成立するから，の値に応じて以下のように場合分けする．
の時
この時は(式9)の条件が満たされるから，を満たすについて足し合わせればゲームの勝敗が決まらない確率が求まるから
である．
の時
この時は余事象，つまり回目のじゃんけんの段階でゲームが終了している 場合を考えよう．より，ゲームが終了するのはどちらかが連勝したときに限られるから，その確率は
である．よって求める確率はこれをから減じて
である．一方で(式21)でとすると
で(式23)と一致するから，の時も(式21)で良い．
以上から求める確率は(式21)で
である．
【解説】
問題文の記述が悪いように思う．ゲーム終了の扱いをどうするのかが不明瞭だ．ここではゲーム終了後のケースは考えないようにした．
また，ゲームの勝利条件である「他の隣のベンチ」も若干日本語が謎である．ここでは「出発点と反対端のベンチ」についた時と解釈した．
こういう場合は，立場を解答の先頭で明確にしておいて，その設定に沿って答えるのが良いだろう．
