東京大学 前期 1986年 第1問 (解答解説)

【解答】

() での の接線は

であるから，これと 軸の交点は各々 ， である．

題意の条件より， が の内部にあるので，線分がにあるためにはがそれぞれよりも原点に近い位置にあれば良いから

である．このもとで三角形の面積の最大値を考える． は三角形の面積公式から

である． を固定しての最大値を考える．

以上(式4),(式6)をまとめて

である． そこで次に を(式2)の範囲，すなわち で動かす．をを横軸にしてグラフに示すと以下のようになる．

従って，グラフよりの最大値はの時のである．対応するを(式6)から考えてである．この時のの様子は下図のようになる．これはそれぞれがの接線と一致する時である．