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東京大学 前期 1987年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1987年 第2問 (解答解説)

📝 問題

点を点にうつす平行移動によって 曲線を移動して得られる曲線をとする． と曲線，が接するような，を座標とする 点の存在する範囲の概形を図示せよ．

また，この二曲線が接する点以外に共有点を持たないような，の値を求めよ． ただし，二曲線がある点で接するとは，その点で共通の接線を持つことである．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線$C$と曲線$C'$が$x=t$で接し，共通接線をもつ様子

図 1: 放物線と曲線がで接し，共通接線をもつ様子

の範囲の図示

をだけ並行移動して，の方程式は

である． また

である． (式1),(式2)のでの接線が一致する時 だから条件は，

なるが存在することである． 従って，が(式3)で表されるパラメータ曲線上にあればよい． をで一階微分すると

だから下表を得る．

表 1: ， の増減表

また，(式3)から極限値は以下のようになる．

のときのとき

従って，のグラフの概形は以下のようになる．

$a=t+\dfrac{1}{2t^2}$，$b=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{4t^4}$（$t>0$）で表される$(a,b)$の軌跡

図 2: ，（）で表されるの軌跡

接点以外に共有点を持たないようなの値

次に，接点以外に交点を持たない時を考えよう．これは(式1),(式2)を連立した方程式

を満たすが唯一つのみであればよい．

(式3)を代入して

だから，この解がのみである条件はも考慮して

である． この時(式3)から，となる．(答)

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