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東京大学 前期 1988年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1988年 第2問 (解答解説)

📝 問題

空間内に平面がある． 一辺の長さ1の正四面体の上への正射影の面積をとし， がいろいろと位置を変えるときのの最大値と最小値を求めよ．

だたし， 空間の点を通ってに垂直な直線がと交わる点をの上への正射影といい， 空間図形の各点の上への正射影全体のつくる上の図形をの上への正射影という．

✏️ 解答解説

【解答】

本文の座標で配置した一辺の長さ$1$の正四面体$ABCD$

図 1: 本文の座標で配置した一辺の長さの正四面体

空間座標を設定し， の4頂点を

とする． パラメータを用いて平面 の単位法線ベクトル とする．ただし

である．

四面体の面 を とおくと， の法線ベクトルは，順に

だから，面 と のなす角 として，に代入して

である．

面の平面への正射影の面積が求める面積の倍であること，およびの各面の面積は であることから

となる． 対称性から，

とすると(式2)と合わせて

だから(式10)は

となる．以下 の正負で場合分けする．

の時

(式15)から

となる．(式2) (式16) を図示すると下図斜線部(境界含む)である．

$ 1^\circ$ の球面上の存在領域（斜線部）．$a_1+a_2\ge a_3$を満たす球面三角形$QRS$で，境界を含む．

図 2: の球面上の存在領域（斜線部）．を満たす球面三角形で，境界を含む．

図中の点は

，，，

である．

のとりうる値の最大最小は， 平面 との共有点条件より，

でで

であり，その間の値ももれ無くとるから，

である．

の時

(式15)から

となる． と同様に， の存在範囲は下図斜線部 (境界含む)である．

$ 2^\circ$ の球面上の存在領域（斜線部）．$a_1+a_2\le a_3$を満たす球面三角形$PQR$で，境界を含む．

図 3: の球面上の存在領域（斜線部）．を満たす球面三角形で，境界を含む．

従って，のとりうる範囲は

となり，(式21)から

である．

以上(式20),(式23)から求めるの範囲は

である．

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