アーカイブ一覧へ戻る
東京大学 前期 1988年 解答解説 このページの閲覧数
前の年度 1987年 次の年度 1989年
🧭 1988年度の関連ナビゲーション:
第1問 (問題) 第1問 (解答) 第2問 (問題) 第2問 (解答) 第3問 (問題) 第3問 (解答) 第4問 (問題) 第4問 (解答) 第5問 (問題) 第5問 (解答) 第6問 (問題) 第6問 (解答)

この問題のOpen Issue（1件）

GitHubで確認 ↗

情報取得：。最新の状態はGitHubで確認できます。

東京大学 前期 1988年 第5問 (解答解説)

📝 問題

空間において，平面上ので表される図形を 軸のまわりに回転して得られる不透明な立体をとする． の表面上座標1のところにひとつの点光源がある．

平面上の原点を中心とする円の， からの光が当たっている部分の長さがであるとき， のかげの部分の長さを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

立体 $V$（放物面）と接点 $P(1,0,1)$ および接平面の 3D 見取り図

図 1: 立体 （放物面）と接点 および接平面の 3D 見取り図

題意の立体の方程式は

である．また，対称性からとしてよい． 点でのの接平面はゆえ，

である．

$y=0$（$xz$ 平面）における切断面：放物線 $z=2-x^2$ と接点 $P(1,1)$ における接線

図 2: （ 平面）における切断面：放物線 と接点 における接線

よって平面()ではとなり， 平面での円と接平面の断面図は以下のようになる．

$xy$ 平面における円 $C$ と接平面の交線 $x = \dfrac{3}{2}$（太線部は光が当たる領域）

図 3: 平面における円 と接平面の交線 （太線部は光が当たる領域）

よって円のうち光が当たる部分はである． の半径とし，上図のように()をおく． 題意より，上図で太線の部分の長さがだから

である．また，の関係は図から

である．(式1),(式2)からを消去して

である．

この右辺はで単調増加な関数の積だから単調増加である． 加えてが解であることから，これが唯一の解である． この時(式4)からとなり，求める影の長さは

である．(答)

この解答の誤りや分かりにくい点に気づきましたか？ GitHubで報告する