東京大学 前期 1988年 第6問 (解答解説)

【解答】

より， は， を中心とする半径4の球面 上に存在する． まず を固定して， を動かす時， 明らかに が の法線方向に平行で， かつ と が に関して反対側にある時に四面体 の体積は最大である．

から に下ろした垂足を ，長さを とするとである． 四面体 の体積 のをこの点で固定した時の最大値は，

で与えられる．この時

だから，次に の面積の最大値をかんがえる． などに三平方の定理を用いることで

とおける．従って，球を三角形を含む平面で切断すると，下図のように中心，半径の円となる．

を固定して を動かした時のの面積の最大値を考える． が中心，半径上の円周上を動くので かつ と が に関して反対にある時，つまり が の二等辺三角形の時である． この時 とおく ()と，の面積は

である．による一階微分を計算すると

である． よりの増減表は以下のようになる．

従って は で最大値 をとる． この時， は正三角形である．

以上より， が一定の時の の最大値は(式1)に代入して

で与えられる．で微分すると

より， での増減表は以下のようになる．

従ってはで最大値をとり，その最大値は

である．