東京大学前期 1987年第6問 (解答解説)

【解答】

対称性により，1回目に出た目をとして考える．このとき，2回目から回目までのサイコロの目の出方は通りあり，いずれも同様に確からしい．頂点を含む直角三角形は，次の6個である．

， ， ， ， ， ．

のとき，三角形の残りの二つの頂点に対応する目をを一回ずつ出さなければならない．三角形の数は通り，どちらの目が先に出るかでそれぞれ通りだから，合計の場合の数は通りである．よって求める確率は

である．

のとき，直角三角形が存在しない目の出方は，(式8)で示すように通りであるから，

である．

以上をまとめて

である．

余事象を考える．4個以上の異なる目が出れば，向かい合う頂点の対と，それ以外の頂点がしるしをもつため，必ず直角三角形が存在する．したがって，直角三角形が存在しないのは，次のいずれかの場合である．

この場合は以外の目を1個選び，残りの回にその目が少なくとも1回出る場合と，すべてが出る場合を合わせると，目の出方は

通りである．

この場合，直角三角形にならない3個の目の組は

， ， ，

の4組である．例えば目の組がとなる場合の数を考える．まずこのつの目がでる場合の数は全体で通りある．このうちがでない場合とが出ない場合（いずれも通り）を除き，両方とも出ない場合を戻して，

通りである．対称性から他の組み合わせも同じだけ場合の数があるから，合わせて

通りある．

以上(式5),(式8)より余事象が起こる確率は

である．従って求める極限値は

となる．