東京大学前期 1989年第6問 (解答解説)

【解答】

横一列に赤玉と白玉を並べることを考える．左端と右端に赤玉を配置し，その間に個の白玉を並べる．左右端の赤玉が円に並べた時の一つの赤玉に対応する．白玉の前後にある箇所の隙間から，残りの二つの赤玉を入れる場所を選ぶ．同じ隙間に個入れることも許すので，その選び方は重複組合せにより

通りであり，同様に確からしい．隙間の番号を左からとし，赤玉を入れる場所を（）とする．

3か所の白玉の個数はだから，赤玉の間の白玉が個以下である条件は

となる．よりだから(式2)を満たすを平面上に図示すると下図の斜線部となる．

よって車線部の領域（境界含む）にある格子点の数があり得る配置の数で，これは

である．よって求める確率は全体の場合の数で割って

となる．

赤玉を1個固定する．全事象は同様に確からしい通りである．題意よりだから，

とおける．

下図のように3個の赤玉によって区切られる3か所の白玉の個数を，順にとする．

白玉の総数がであるための条件は

である．であればも自動的に成り立つため，各部分の白玉の個数は以上以下となる．従って条件を満たす配置の数は，から合わせて個以下の白玉を減らす方法の数，すなわち

，

を満たすの個数である．この時はにより自動的に決定される．場合の数は

通りだから，求める確率は

である．