【解答】
(1)
とおくと，
と小数点以下はの繰り返しになる．
回目に出た目の数をとする．となるかどうかは，が何回目に初めての対応する桁と異なるかを考えればよい．
となる場合のうち，小数第位までと一致する確率を，第位までに初めて小さい数字が現れ，完全には一致しない確率をとする．
すると題意の確率とは，
という関係にある．
次の桁がのどれであるかによって下図のように遷移する．
図 1: に対する一致状態 と確定状態 の推移
したがって，の漸化式は以下のようになる．
である．従って
である．初期条件は，である．
まず(式3)からの一般項は
である．これを(式4)に代入して
だから繰り返し用いて
となる．
よって(式5),(式8)において，すなわちの時
である．(式3)よりのいずれもの極限は等しい．
従って(式2)から求める極限値は
である．
(2)
はについて単調非減少である．また，はについて増加するので，はについて非増加で，極限が存在する．その極限をと書く．となるの上限と下限を求めれば良い．
上限
とおく．
に対して最初の目が以下の場合と，最初の目がで残りがすべての場合を数えると，
である．
一方でを任意にとると，あるに対して，
となる．ここではを小数第位までの有限小数とする．ならば，最初の目が以下の場合に加え，第位までがである場合が数えられるので，
となる．を固定して極限をとればである．
したがって上限についての条件は
である．
下限
とおくと，は最初の目が以下であれば良いから
である．
一方でを任意にとると，あるに対して，
となる．は小数第位までの有限小数である．
に対して，は最初の目が以下である場合に加えて，桁目がより小さい場合も考えて
だから，である．したがって，下限についての条件は
である．
(式14),(式21)と単調性より，求めるの条件は
である．
