【解答】
(1)
対称性により，面に平行な平面で切る場合を考えればよい．切り口を六角形とする．頂点の配置と切断面は下図のとおりである．
図 1: 正八面体の面 に平行な六角形 の様子
図 2: 六角形 の様子
面と面は平行だから，六角形もこれらに平行である．
平行な二平面とこれらに交わる各面との二つの交線も平行になる．
したがって三角形の相似より
はすべて正三角形である．
（）とおくと，切り口の辺の長さはとが交互に並ぶから，
で一定である．切断面が端の面と一致する場合も一辺の長さの正三角形の周の長さはであるから，切断面の長さはで一定である．
(2)
穴の面と面が常に平行になるように正八面体を通過させることを考えると，
穴の面での立体の切断面は一辺の正三角形（）か(1)で検討した六角形になる．そこでこれら二つが一辺の正方形の内部におさまることを示れば良い．
図 3: 正方形 （一辺 ）に内接させた一辺 の正三角形
まずは一辺の正三角形を図のように正方形に内接させる．
点がと一致するようにし，の中点が対角線上にくるように配置すると，
対角線の長さは
だから，正方形の一辺の長さは未満である．よってこの三角形は一辺の長さの穴の縁にふれないように置くことができる．
図 4: 正方形 （一辺 ）に対角線対称で内接させた六角形
次に，切り口の六角形を上図のように正方形に内接させる．
辺との中点が対角線上にくるようにする．
このとき，対角線の長さを計算すると
である．
したがって，正方形の一辺の長さは未満である．よって，この六角形も一辺の長さの穴の縁にふれないように置くことができる．
以上から，穴のある平面と正八面体の一つの面が常に平行になるようにし，各切り口が穴の内部に収まるように動かせば，正八面体を平面にふれずに通過させることができる．
