東京大学前期 1991年第3問 (解答解説)

【解答】

与えられた三次関数を

とおくと，一階微分は

である．従って増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

したがってグラフは下図のようになる．題意の方程式の解はとの共有点の座標に等しい．

$y = g(x) = x^3 - 3x$ と直線 $y = p$ の交点 $\alpha, \beta, \gamma$ — 図 1: と直線の交点

(1)

は奇関数だからは偶関数である．よっての範囲で考える．の値に応じて，との解の数・値は以下のように変化する．

の時: につの実数解を持つ．\
の時: 解はである． \
の時: に一つ解を持つ．

の時

この時は解はただ一つあるから，これをとおくと

である．図からはの単調増加関数であるから，を考えると

である．

の時

この時は解はで

である．

の時

この時は解は 3 つあり，これを () とおく．これらはの解だから，解と係数の関係より

である．第一式からだから，第二式と第三式に代入して

を得る．だから(式7)より

となる．の時となるから，この時

となる．

(式4),(式5),(式9)から求める最小値は

である．

(2)

(1)に引き続き，が偶関数だからでかんがえる．の挙動を調べるため，を求める．

の時

この時はの唯一の解をとして，

である．両辺をで微分して

を得る．より第二式においてだから

が従う．

さらに(式13)を再度で微分すると

を得る．第二式を第一式に代入して

を得る．従ってだから，の時は上に凸な単調増加関数である．極限はであるから増減表は以下のようになる．




		$`\begin{array}{c} \nearrow \ \text{\scriptsize (上に凸)}

表 2: の増減表（）

の時

より

だから，(式7)でを消去して

である．同様に(式8)にも代入して

である．

(式20),(式21)の両辺で微分して

であり，よって第一式を第二式に代入して

である．図から

だから，(式24)より

である．つまりは単調増加である．

さらに(式23)の両辺をで微分して

を得る．ここで(式25)と第一式から

だから，第二式において

だ従う．

以上からででは下に凸な単調増加関数である．これとより増減表は以下のようになる．




		$`\begin{array}{c} \nearrow \ \text{\scriptsize (下に凸)}

表 3: の増減表（）

以上からのグラフの概形は下図のようになる．

$y = f(p)$ のグラフ（偶関数，$p = \pm 2$ で不連続） — 図 3: のグラフ（偶関数，で不連続）

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【解答】

(1)

の時

の時

の時

(2)

の時

の時