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東京大学 前期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1991年 第4問 (解答解説)

📝 問題

  1. 自然数に対して， ある多項式，が存在して， ，と書けることを示せ．

  2. このとき，ならば次の等式が成立することを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

与えられた関係式

を満たすを数学的帰納法で示す．

のとき，(式1)は

だから，

とすれば良い．

そこででの成立を仮定してでの成立を示す． 加法定理より，

だから，

とすればでも成立する． よって数学的帰納法により題意は示された．

(2)

題意の関係式

を数学的帰納法で示す．

(式9)でとして，両辺をで微分すると

であり，(式3)を代入すると

である．よってでは(式10)は成立する．

そこででの成立を仮定する． (式9)の両辺をで微分して

式式

である．したがってでも(式9)は成立する． よって帰納法により題意は示された．

【別解】

(2)

とおくと(式3)よりである． (式3)から

だから，くり返し用いて，

を得る．したがって，

となる． 両辺をで微分して，

を得る．

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