東京大学 前期 1990年 第5問 (解答解説)

【解答】

与えられた円と楕円

について考える．

まず，の外側にがあることから

が必要である．以下このもとで考える．

題意の平行四辺形が存在するとしてその頂点をとし，辺と円との接点を，それぞれとする．円外の点から円に引いた二本の接線の長さは等しいので，

である． 一方で平行四辺形の対辺の長さは等しいから，

である．ここに(式3)を代入して

だから辺々足し引きして

である．従って

だから(式4)に代入して，平行四辺形の各辺は

と全て同じ長さになる．つまりはひし形である．

さて，以下具体的にの条件を考える． まずでの成立が必要である．このとき残りの頂点は対称性と(式8)からとである．そこでとおいての面積を二通りに表すと，

が必要である．

逆に(式11)が成立するとする． パラメータとを用いて極座標表示で上の任意の点を

とおく． これらの点が上にあるから(式1)に代入して

を満たす．この時

だから，は菱形である．

次に辺の方程式は

だから原点とこの直線との距離をとすると，

となる． (式11)を代入して

であるから(式18)に代入してである． したがってはに接する．対称性から他の三辺もに接するので，題意の平行四辺形が存在する．

以上から，求める必要十分条件は(式11)であり

である．