東京大学 前期 1994年 第1問 (解答解説)

(1)

与えられた関数

について考える． 一階微分，二階微分を計算すると

である．よりは単調増加である． また，はの時にだから， となるがただ一つ存在する． これをとすると，の増減表は下表になる．

よってだからを示せば良い． (式1),(式2)より

だからを代入してより

となってだから題意は示された．

(2)

与えられた関数

について考える． 一階微分，二階微分を計算すると

である． 従って前問と同様になる実数がただひとつ存在し， の増減表は以下のようになる．

よって

である． 従ってでは単調増加である． これと，から はただ一つの実数解をに持ち，題意は示された．

(1)

を変形すると

より，確かにである．よって示された．

(2)

前問と同様に

ゆえである．これとおよびから示すべきことは明らか．