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東京大学 前期 1994年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1994年 第3問 (解答解説)

📝 問題

空間において条件

を満たす点の全体からなる立体を考える． この立体の体積をとし， に対し， 軸と直交する平面による切り口の面積をとする．

  1. とおくときをで表せ． ただしとする．

  2. の値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意の領域

について考える．

(1)

についての切断面を考える． の範囲から(式1)の第三式は満たされるので残りの二つに代入して

である．これを図示すると下図の斜線部となる．

平面 $z=k=\cos\theta$ による切断面の領域 $S(k)$（斜線部の弓形）

図 1: 平面 による切断面の領域 （斜線部の弓形）

この斜線部の面積は半径の円の弓形の面積で

である．

(2)

(式9)をで積分したものが求める体積で，

である．各項計算すると

第項

第項

第項

である．(式15),(式20),(式25)を(式13)に代入して

である．

【別解】

(1)で弓形の面積を計算する時は，積分を使わずに下図のような扇形と三角形の差分として 初等的にも計算できる．

扇形

となって一致する．

切断面における弓形 $S(k)$

図 2: 切断面における弓形

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