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東京大学 前期 1995年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1995年 第3問 (解答解説)

📝 問題

二辺の長さが1と2の長方形と一辺の長さが2の正方形の2種類のタイルがある. 縦2,横の長方形の部屋をこれらのタイルで過不足なく敷きつめることを考える. そのような並べ方の総数をで表す. ただしは正の整数である. たとえば,,である. このとき以下の問いに答えよ.

  1. のとき,を,を用いて表せ.

  2. をで表せ.

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

右端のタイルの敷き詰め方による場合分け

図 1: 右端のタイルの敷き詰め方による場合分け

の時の右端のタイルの敷き詰め方で場合分けして考える. 右端1または2マスの敷き詰め方は図の3通りであり,それぞれ対応する並べ方はだから

答

である.

(2)

(式1)を変形すると

これを繰り返し用いて,初期条件,から

辺々引いて整理すれば

答

を得る.

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