東京大学 前期 1995年 第5問 (解答解説)

(1)

回目にはじめて南北方向に動いたとすると，移動量はである．ここで回目から回目まで全て回目と逆向きに動いたとしても，その合計の移動量は

だから，は軸上には存在しない．以上から題意の対偶が示された． よって題意も示された．

(2)

が軸上にあるという事象を，軸上にあるという事象をとする． 求める確率とすると，対称性から他の象限にある確率もであるから，

が成立する．従って以下を計算することでを求める．

前問の結果からが軸上に有るときも軸上にある． 軸上にあるのは常にサイコロがのとき， 軸上にあるのは常にサイコロがのときである． したがって

である．またはが原点にある時で， これは(1)と同様に考えれば常にサイコロがであるときだから，

である．

に(式4),(式5)を代入して

だから，これを(式3)に代入して求める確率は

となる．