東京大学 前期 1995年 第4問 (解答解説)

【解答】

正の実数に対して

とおくと，のグラフは下図のようになる．

したがってがの約数のときはの最小値はである． がの約数でないときは，の正の約数のうちより小さいものの最大値を，より大きいものの最小値をとすれば，の最小値は，のうち大きくない方である．

(1)

のときを考えるとであり，の正の約数はである．が約数になるかどうかはの偶奇によるので，個別に考える．

以上(式3),(式7)をまとめて求める最小値は

である．

(2)

だから，

である． はの約数でないので，はの約数ではない． また，はともにの約数だから，

となる．このとき，

だから，(式1)より求める最小値は

である．

【解説】

(1)も(2)もになっているが，これには理由があって，前後の最も近い二つの約数はお互いがペアになってを満たすから

となってこれらは等しくなる．