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東京大学 前期 1994年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1994年 第4問 (解答解説)

📝 問題

とする．において連続な関数に対して

とおく．以下，関数を順次

により定める．また，

とし，に対し

とおく． このとき， を満たす任意のに対しが成り立ち， さらにとなるようなを定めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

簡単のため，の定義域をに拡張し

である． 与えられた漸化式

について考える．

(式2)の第二式を第一式に代入して

だから，

である．に注意して変形すると

である． これは数列が公比の等比数列であることをあらわす． また，初期条件はだから

である．

従ってをで置き換えてより，

だから題意の方程式

に代入して

である．以下これを満たすを求めよう． まずとおくと，(式1)よりだから(式14)より

である．両辺積分してを積分定数として

である．の連続性から でも(式19)で良い． 題意よりだから

である．

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