東京大学 前期 1997年 第6問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた二つの関数を

とおく． のにおける接線は，より，

と書ける．これがにも接するとき，連立したはについて重解をもつ．

の判別式をとして，

となる．が軸であることはと同値であり，また3次関数では異なる接点における接線は異なる．したがって求める条件は，(式7)を満たすがちょうど2つあることである．として両辺で割ると，

を得る．この2次方程式が異なる2つの非零実数解をもつ条件は，判別式として

である．

(2)

(式7)の2解を（）とすると，2接線の方程式は(式2)より

である．これらと放物線との接点の座標を順にとすると， (式5)の重解だから，

である．また，との交点の座標をとすると，放物線の接線の性質から

となる． よりであり，グラフの概形は下図のようになる．

求める面積は斜線部だから，

となる．

ここで，は(式9)の解だから，

およびより

を満たす．これらを(式18)に代入して，

を得る．