東京大学 前期 1997年 第5問 (解答解説)

【解答】

与えられた条件

の元で与えられた領域

を考える．

まずはこの領域の形を考える． とおくと，(式2)は

となる．このような実数が存在するための条件から， の判別式をとして

である．このもとで(式3)を解いて

であり，領域の概形は下図の斜線部である．

求める回転体の体積をとする． この領域は軸に関して対称だから，の部分を回転させた体積がである．高さでの断面は(式7)より半径との円によるドーナツ型の領域で

となる．この積分は半径の四分円の面積だから，に等しい．したがって，(式8)から

である．

【別解】

与式はを，をに変えても不変だから，領域は軸・軸について対称である．そこで，，の範囲で考える．が実数であるための条件から，

である．

とおけば，第1象限では

であり，その概形は下図のようになる．

求める体積をとすると，バームクーヘン積分の公式から

となる．最後の積分は半径の半円の面積だから，に等しい．したがって，

を得る．