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東京大学 前期 1998年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1998年 第5問 (解答解説)

📝 問題

はを満たす実数とする．平面にベクトル

をとり，点，，を

で定める． ただし，は原点で， およびはベクトルの内積を表す． とおく． 数列，がともに収束するの範囲を求めよ． さらに，このようなに対して，極限値

を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

漸化式による点 $P_n \to Q_n \to P_{n+1}$ の射影と変換の様子

図 1: 漸化式による点 の射影と変換の様子

与えられた漸化式

について考える．

簡単のため とおく． また，

とおくと，より

\label{eq:3} である．

(式1)の第一式に(式2)を代入すると

だから，との内積をとって(式2)に注意して

である．よって(式1)での漸化式を立てると

式式

だから，(式3)を代入して成分表示すると

である．さらに(式3)を代入して

および

である． ここで

とすると， (式13),(式17)は

を得る．第二式を第一式に代入して

だからくり返し用いて，

を得る．ここで(式1),(式19)よりは

だから

である．

したがって数列 が収束する条件は，

である． に(式18)を代入して

ここで第三式は第一式の場合に含まれるから

である．

数列 $(x_n, y_n)$ が収束するパラメータ $\theta$ の範囲および収束先の分類

図 2: 数列 が収束するパラメータ の範囲および収束先の分類

収束値は(式23)においてかどうかで異なるので以下場合分けする．

即ち の時

この時は 共に 0 に収束する．

即ち の時

(式23)から となるから， においての値で場合分けして

の時，の時，

である．

以上をまとめて求める極限値は

の時

である．

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