東京大学前期 1998年第3問 (解答解説)

【解答】

円の中心とする．からへの垂足を各とおく．からへの垂足をとおく．に三平方を用いて，

である．図から : even の時， : odd の時であることより，

である．

を数学的帰納法で示す．題意よりの時は

より整数だから，以下での成立を仮定する． (式3)で第一式と第二式を足して第三式を引くと

である．を代入して

である．両辺にをかけて，

で，仮定より右辺が整数だからでもは整数である．

以上から数学的帰納法により題意は示された． \hfill

まずの満たす漸化式を求める． (式3)の第一式，第二式の両辺を左辺で割って

である．ここにを代入して

だから，辺々引き算して

である．(式8)を代入してで両辺を割って

である．初期条件はの時であり，(式13)からである． (式8)よりは同じ漸化式に従い，初期条件はだから

である．よって(1)およびと合わせて，である．

以下とが互いに素であることを巣学的帰納法で示す．の時となって成立するので，以下での成立を仮定する．

と が 互 い に 素 」 「 と が 互 い に 素 」 式 「 と が 互 い に 素 」 式 「 と が 互 い に 素 」 「 と が 互 い に 素 」 式

となり，最終行は仮定より成立するからとも互いに素である．

以上から数学的帰納法により題意は示された．\hfill

(式14)およびよりは

となる．

従って(式8)の両辺をでわって，

である．と辺々引き算して

である．ここで(式8),(式20)よりだから，両辺絶対値をとって

なので，とくり返し用いて，

である．より右辺はでに収束するから，はさみうちの定理より

である．