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東京大学 前期 1999年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1999年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を を満たす実数とする．

  1. 四面体 の各辺はそれぞれ確率 で電流を通すものとする． このとき，頂点 から に電流が流れる確率を求めよ． ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．

  2. (1) で考えたような2つの四面体 と を図のように頂点 と でつないだとき， 頂点 から に電流が流れる確率を求めよ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

正四面体 $ABCD$

図 1: 正四面体

余事象を考える． に電流が流れないのは， に流れないのもとで， に流れるか否かで場合分けする．

電気回路の配置（点$A,B,C,D$）

図 2: 電気回路の配置（点）

流れる流れない
流れる に流れない．確率
に同時には流れない
確率
流れない
に同時には流れない
確率任意 確率

表 1: の状態による場合分けと，辺に流れない部分をのぞいた確率．

上表から，余事象の確率は

だから求める確率は，これをから減じて

である．

(2)

頂点 $A$ と $E$ で接続された 2 つの四面体回路 $ABCD$ と $EFGH$

図 3: 頂点 と で接続された 2 つの四面体回路 と

からに電流が流れるのは「間に流れる」かつ「間に流れる」時である． これらの事象は独立だから求める確率は(式3)より

である．

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