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東京大学 前期 1999年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1999年 第2問 (解答解説)

📝 問題

複素数 を，によって定める． ただしは虚数単位であり，また，複素数(，は実数)に対して，を

で定義する．

  1. すべての自然数について が成り立つことを示せ．

  2. 実数に対して，を満たすの個数をとおく． このとき，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた漸化式

について考える．ここで

とすると， は

をみたすので，(式1),(式3)を辺々引いて

とあわせて，くり返し用いると

である．

(1)

与えれた不等式の各辺は以上だから，二乗して

であるから，これを示す．

(式7)の両辺で絶対値を取って

である． 三角不等式より

だからまとめて

である．

(式8)の右側について

まず(式8)の右側について より

であり， の時には から (式14) は成立する．

(式8)の左側について

次に (式8)の左側について，

であり， から (式16) は常に成立する．

以上(式8),(式12),(式14),(式16)から の時，

で，両辺平方根をとって

である．また の時は から題意は成立するから，以上より不等式は成立する． \hfill

(2)

(1)から数列 は単調増加である．

したがって， の時には であり，

に対して

が成立する．

この時(式19)の両辺自然対数を取って

が成立する．(式20)の両辺をこれで割って，

が成立する． の時 で，この両辺は共に に収束するから，はさみうちの定理より求める極限は

である．

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