東京大学 前期 1999年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

座標平面上で， 軸の正の部分 (原点 を端点とする半直線) を始線とし，一般角 に対する動径上で からの距離 の点 の座標を とする．そこで と定義する．

(2)

2次元ベクトル とおく． 正規直交基底 を だけ回転した直交基底 を考える．つまり，

とする．

(1)から，の成分は

と書ける．ただし は 軸を 軸とみなすことで得られる． 次に を考える．これは

と書ける．

一方で 座標からみれば であるから

とも書ける．

(式4),(式5)で成分比較して

を得る． \hfill

【別解】

(2)

先にの基本的な性質を証明する．

1. (I)　

   点 は点 と 軸対称だから示される．

2. (II)　

   点 は点 と 対称だから示される．

さて として考える．下図で である．

に注意して，

である．

一方右上図で であるから，を計算すると

である．

線分 を原点まわりに回転すると，線分 に重なるので，

である．(式8),(式10),(式11)から

である．

したがって，

である．