東京大学 前期 1998年 第2問 (解答解説)

【解答】

与えられた領域

について考える．

と固定すると，

である．

これをみたす の存在条件から，

である． このもとで(式2)を図示すると下図斜線部である(境界含む)．

この内部にある格子点の数を とおく． ここで1辺 の正方形から，三角形4つを取り去ることで をもとめる．

まず一辺の正方形の周及び内部の格子点の数は

である．

次に三角形の周および内部（斜辺上を除く）の格子点の数を数える． 上図の は一辺がの，は一辺がの直角二等辺三角形である．一般に一辺 の直角2等辺三角形の周及び内部(斜辺をのぞく)の格子点の数は

である．よって， の周及び内部(斜辺除く)にある格子点はあわせて

である．(式4),(式6)からは

である．よって求める格子点の合計は(式3)より

である．各項計算すると

である．

(式12),(式16),(式20)を(式10)に代入して

である．両辺をで割って

が求める極限値である．