【解答】
与えられた式をについて整理して
である．簡単のために
とすると，(式1)が任意の整数で成り立つ条件は
である．ここで実数に対して
とおくと，(式3)の条件は
である．の一階微分は
だから，の増減表は以下のようになる．
表 1: の増減表
従ってのグラフは以下のようになる．
ただしに注意した．
図 1: のグラフと極小値 および許容範囲
このグラフから，(式6)の条件が成り立つの条件はが整数であることに注意して
である．
【別解】
本解答と同じくとして
に対してとなる条件を考える．
の判別式 として
である．が解を持つかどうかで場合分けして考える．
まずが解を持たないときはとなって自明に条件を満たす．この時は
である．
が解を持つ時，すなわち(式13)以外の時，
の解は
である．これらを () とする．
の時
この時，との大小を比較すると
である．(式18)は成立するので である．
同様に だから， である．
したがって任意の に対し である．
の時
この時は具体的にとすると
だから不適である．
以上まとめて求める条件は である．
