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東京大学 前期 1997年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1997年 第1問 (解答解説)

📝 問題

，を正の数とし，平面の2点およびを頂点とする正三角形をとする． ただし，は第1象限の点とする．

  1. 三角形が正方形に含まれるようなの範囲を求めよ．

  2. が(1)の範囲を動くとき，三角形の面積が最大となるようなを求めよ． また，そのときのの値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

正三角形 $\triangle ABC$と領域$D$

図 1: 正三角形 と領域

題意の点の中点を とすると，正三角形の性質から 及び だから， より

となり，

複号同順

である．

題意より は第1象限の点だから複号正を採用して， である． が に含まれるには， が に含まれていれば良い． とあわせてこのような条件は

である．これを図示して求めるのは下図斜線部である．ただし境界は含むが軸は除く．

条件を満たす $(a,b)$ の存在領域および $a^2+b^2$ の最大値を与える頂点

図 2: 条件を満たす の存在領域および の最大値を与える頂点

条件を満たす$(a,b)$の存在領域

図 3: 条件を満たすの存在領域

(2)

の一辺は だからこの面積は

となり， ( とする)が最大の時 も最大である． は と の距離の2乗に等しく，(1)の平面の領域図から， 最大値の候補は領域の頂点 ， ， である． 各々について を計算すると， 順に ， ， で全て等しいので(式6)に代入して求める最大値は

である．この時 である．

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