東京大学 前期 1998年 第6問 (解答解説)

【解答】

対称性からの部分の体積をとすると，求める体積は

である．

以下簡単のためと表してでの切断面を考える． での切り口は下図のようになるから，共通領域があるのは

の範囲である．

の方程式は

だから，との共通点はの時のである． よってでの切断面は

であり，下図の斜線部である．

この面積をとすると，

となるから，求める体積は

である．各項を個別に計算すると

だから(式9)に代入して，

を得る．(式1)より，

である．

【別解】

解答ではまで対称性を使って計算量を減らしている． もう少しゆるく第一象限の体積の倍として求めるとどれくらいの計算量になるのか例示しよう．

，の部分の体積を改めてとすると，

である．として，での切断面を考える．辺と円柱との交点は

である．の断面は，かかによって，下図のように変わる．

したがって，切断面の面積は

となる．よって体積は

である．各積分は，

である．これらを(式26)に代入して，

だから，(式21)より，

となる．

【解説】

この問題は円が現れるが，で切断して扇形の差から断面積を求めようとすると（出来なくはないが）計算が大変である．上の解法では，を固定して，切断面を長方形・三角形・台形として求めている．