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東京大学 前期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2000年 第2問 (解答解説)

📝 問題

複素数平面上の原点以外の相異なる2点，を考える． ，を通る直線を，原点からに引いた垂線との交点をとする． ただし，複素数が表す点をとかく． このとき，

  1. 「であるための必要十分条件は， ，が 中心，半径の円周上にあることである．」

を示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

直線 $PQ$ への原点からの垂線の足 $R(w)$ と円 $\left|z - \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2}$

図 1: 直線 への原点からの垂線の足 と円

点$P(\alpha),Q(\beta),R(w)$の配置

図 2: 点の配置

直線が直線の垂線だからこれら二つは直交する．従って

は純虚数

である．

さらに点は 上だから， として

である．(式1),(式3)から

である．

まず だから(式5)の第一式より

だから(式5)の第二式に代入して，

となる． より両辺で割って

である．

同様にして，(式3)で

でもあるから，(式9)までと同様の手順で

を得る．

以下となる必要十分条件を考える．

十分性

の時，(式9),(式11)に代入して

であり， だから，

となり，各辺 以上だから

より， は題意の円周上にある．よって十分である．

必要性

が中心, 半径の円周上にあるから

が成立する．変形すると

である．

とおく． より だから(式5)の第一式より

だから(式5)の第二式に代入して

を得る．について整理して

式

を得る．

以上 ， から題意は示された．

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