東京大学 前期 2000年 第4問 (解答解説)

【解答】

時刻における線分の方程式は

だから，これと点がぶつかる条件は

である．

(1)

で(式3)をみたす がない時を考える． まず(式3)で のみ考えれば良い．すると(式3)は

だから，これが解を持たない条件を考えよう．これは平面において， 曲線が で共有点を持たなければ良い．

許容されるの範囲を調べるため，まずはの接線でを通るものがあるかを調べる．だからのにおける接線は

である．これが を通る時，

である．この左辺 とすると

だから，の増減表は以下のようになる．

したがって， では だから(式6)を満たす は存在しない． よっての傾きの最大最小値は端点

でとるから，求める条件は

である．

(2)

(1)と同様に考えて と が (式3)の区間内でただ1度交わる条件をしらべる． ここで(式6)の について での増減表は下図である．

			最大値

したがって， の区間では で(式6)をみたす は存在しないので，上のグラフから，区間 で1回 と がぶつかる条件は

である．

したがって(式11)をみたす がただ1つある の範囲を求めれば良い．(式11)を図示すると下図のようになる．

さて，の時を考える．(式11)においての時の範囲は

で，前者の下端と後者の上端に対して，

だから，常に後者の上端の方が値が大きい．

またこれらが単調減少関数であることから，の時に(式11)を満たすがただ一つあることはない．従っての時のみ考えればよく

である．このうちの上端までは除くので，求める範囲は

である．