東京大学 前期 2001年 第1問 (解答解説)

【解答】

題意の球の中心を とする． の中点を とし で切断すると下図のようになる．

は の外心を通り に垂直な直線上かつ の外心を通り に垂直な直線上にある．は正三角形だから，上にある．よってもこの上にある．さらにからにおろした垂足をとする．

まずが正三角形の外心だから上図より

であり，対応して

である．

以下，をふた通りで表すことでに関する関係式を導く．まずに三平方の定理を用いて

である．一方でに三平方の定理を用いると

である．(式3),(式6),(式7)から

である． として，両辺正から2乗して

のもとで2乗して

である．これはを満たす． から

である．

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