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東京大学 前期 2003年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2003年 第3問 (解答解説)

📝 問題

空間において，平面上の原点を中心とする半径2の円を底面とし， 点を頂点とする円錐をとする．

次に，平面上の点を中心とする半径1の円を， 平面上の点を中心とする半径1の円をとする． とを2つの底面とする円柱をとする．

円錐と円柱の共通部分をとする．

を満たす実数に対し， 平面によるの切り口の面積をとおく．

  1. とする． のとき，をで表せ．

  2. の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

円錐 $A$ と円柱 $B$

図 1: 円錐 と円柱

円錐，円柱の方程式は

である．以下，簡単のためとおく．

(1)

(式1)のでの切り口は，

である．これを図示すると下図の斜線部となる．

切断面 $z = 1-c$ における共通領域（斜線部）と交点 $P_\pm$

図 2: 切断面 における共通領域（斜線部）と交点

ここで，断面の円の交点の座標は(式2)で不等号を等号にしたものを辺々引いて

である．この時座標は

である．従って交点の座標はである． よって図において

である．

扇形から直角三角形を引いて $S_1, S_2$ を求める様子（手書きスケッチの配置）

図 3: 扇形から直角三角形を引いて を求める様子（手書きスケッチの配置）

この面積 は上図の斜線部の面積 との合計である．すなわち，

である．

それぞれ扇形から対応する三角形の面積を引いたもので，各々計算すると，

および

だから(式6)に代入して

である．(答)

(2)

(式12)から求める体積として，

式

である．各項計算すると

第一項 第二項 第三項 第四項

だから，これらを(式16)に代入して求める体制は

である．(の答)

【別解】

(1)

定積分で求める 2 つの領域 $S_1, S_2$ の積分区間と幾何関係

図 4: 定積分で求める 2 つの領域 の積分区間と幾何関係

の求積には通常通りの積分を用いても良い． [解答]の中で定義したは

だから，それぞれ計算すると

だから

である．

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