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東京大学 前期 2003年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2003年 第6問 (解答解説)

📝 問題

円周率が3.05より大きいことを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

半径 $1$ の円に内接する正十二角形

図 1: 半径 の円に内接する正十二角形

上図のように半径の円に内接する正十二角形を考える． この1辺の長さを として，これは円周の長さより短いから

である．

正十二角形の中心と隣り合う 2 頂点がつくる三角形

図 2: 正十二角形の中心と隣り合う 2 頂点がつくる三角形

一方で，正十二角形の隣り合う頂点と中心からなる三角形に余弦定理を用いると

である．従って(式1)に代入して

である．ここでとの大小を比べよう．

両辺乗

だが，この右辺は，

右辺

となるから， である．よって(式3)より

である．

【別解1】

四分円 $x^2+y^2=25$ と 4 つの格子点を結ぶ内接折れ線

図 3: 四分円 と 4 つの格子点を結ぶ内接折れ線

上図で折れ線の長さより四分円の円弧の方が長いから

左辺は だから， は示された．

【別解2】

上に凸な関数 $y = \dfrac{1}{1+x^2}$ と 2 つの台形による下からの面積評価

図 4: 上に凸な関数 と 2 つの台形による下からの面積評価

で上に凸な関数の積分をしたから台形で評価すると，

である．右辺を計算すると となり題意は示された．

【別解3】

に を代入して

となり示された．

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