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東京大学 前期 2003年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2003年 第1問 (解答解説)

📝 問題

，，を実数とし，とする． 2次関数が次の条件(A)，(B)を満たすとする．

  1. (A)　，

  2. (B)　を満たすすべてのに対し，

このとき， 積分の値のとりうる範囲を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $y = 3x^2 - 1$ と条件を満たす放物線 $y = f(x)$ の位置関係

図 1: 放物線 と条件を満たす放物線 の位置関係

(A)から， とすると かつ は2次関数だから， 因数定理から

とおける．従って

である．

よってBの条件は

である． の時は明らかに成立するので，以下 とすると から，

となる．この右辺をとおくと

だから，一階微分すると

となり下表をうる．

表 1: の増減表

開区間 $(-1, 1)$ における $y = h(x)$ のグラフと最大値

図 2: 開区間 における のグラフと最大値

したがって，(式6)が任意の で成立する の条件は

である．

以下，このもとで定積分 の最小値をもとめれば良い． (式2)から だから，

である．

(式8)から だから，(式12)に代入して

である．

【別解】

(式4)以下，を求めるところは以下のように二次方程式を用いても良い．

とおいて，となる条件を考える．

の時 となり， では だから不成立である． 以下を考える． に注意する． の判別式を とする．

の時

この時の条件は判別式が以下か，軸の位置は以下か以上かのどちらかであって，

の時

この時は からは成立する．

以上から については である．

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