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京都大学 前期 1983年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1983年 第6問 (解答解説)

📝 問題

内側が直円すい形の容器がある． その回転軸は鉛直で，頂点が最低点，深さはで，上面は半径の円である． この容器に上面まで満たされた水を，断面積がの管を通じて，最低点からポンプで流出させるとする． 水の流出速度は，そのときの水面の高さをとすれば， (は正の定数)で与えられるようにポンプが調整されているものとする． 流出し始めた時刻をとして，時刻における水面の高さを求めよ． ただし，は容器がからになる時刻までに限定する． (時刻との間に流出する水量をとすれば， がなりたつ．)

✏️ 解答解説

【解答】

円錐容器の水位 $x$ と水面の半径 $Rx/h$

図 1: 円錐容器の水位 と水面の半径

時刻 での水面の面積 とすると，

である．

ここで，は半径の円だから

である．

これと題意より

だから，(式2),(式3)を(式1)に代入して

で両辺を割って

だから，両辺積分して初期条件 で より，

となる． より，両辺平方根をとって

である．

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