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京都大学 前期 1983年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1983年 第4問 (解答解説)

📝 問題

3つのベクトル，，はたがいに直交している． 点より直線，，に垂線をひき，その交点をそれぞれ，，とする．

  1. 四面体の四面体に対する体積比を， ，，の長さ，，で表せ．

  2. 四面体の体積は四面体の体積の以下であることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

$\triangle ABC$ の各辺上にある垂足 $P,Q,R$

図 1: の各辺上にある垂足

互いに直交する $OA,OB,OC$ と垂線 $OP,OQ,OR$

図 2: 互いに直交する と垂線

直角三角形 $OAC$ における垂線 $OQ$ と相似 $\triangle QAO \sim \triangle OAC$

図 3: 直角三角形 における垂線 と相似

四面体は底面を各々とみると，高さがどちらも同じだから

である．の相似から

であり，同様にして

を得る．

従って の面積を1とすると

だから

となり，(式1)に代入して求める体積比は

である．

(2)

(式8)より

を示せばよい．ただし とおいた．

からAM-GM不等式

を辺々掛け合わせると(式10)になる．よって題意は示された．

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