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京都大学 前期 1983年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1983年 第2問 (解答解説)

📝 問題

である直角三角形がある． 頂点，をそれぞれ始点として，辺に垂直な半直線，を頂点のある側にひく． つぎに辺上の任意の点より辺，に垂線をひき，この延長が，と交わる点をそれぞれ，とする．

  1. 3点，，は一直線上にあることを示せ．

  2. 台形の面積が三角形の面積の2倍になるとき，この台形の形を求めよ． ただし，とする．

✏️ 解答解説

【解答】

直角三角形 $ABC$ と半直線 $l, m$ および点 $P, Q, R$ の概要

図 1: 直角三角形 と半直線 および点 の概要

を原点，なる座標軸をとると題意より

である．そこで とおくと ()，

である．

(1)

垂線の足 $Q,R$ と頂点 $A$

図 2: 垂線の足 と頂点

(式3)より

となり， だから， は一直線上にある．

(2)

平行な2辺 $RC,QB$ と中線 $AP$ の長さの関係

図 3: 平行な2辺 と中線 の長さの関係

図のようにとの距離をとし，各長さを

とすると，題意より

である．

の時

この時は(式8)よりAはRQの中点であり，(式3)より

となるが，よりである．しかしこれは に矛盾する．よってこの時(式8)のようにはならない．

の時

AはRQ上の任意の点で(式8)をみたす．そこで(式3)から

とすれば となって適する．

以上から(式8)のようになるのは の時で，この時，題意からは長方形である．

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