京都大学 前期 1984年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた関数

について，

からは周期関数である. は周期の一つである．

そこで以下周期がであることを示す. をみたすがあるとすると

と表せるが, から, これらをみたすはのみであるから

となる．これを任意のでみたすは存在せず, 矛盾する． よって周期はである.

(2)

与えられた関数

について

よりは周期関数で，は周期の一つである．

そこで以下周期がであることを示す. をみたすがあるとすると

である．から, が必要で

となる．これを任意のでみたすは存在せず, 矛盾する． よって周期はである.

(3)

与えられた関数

について，をみたすが存在するとする. まずでの成立が必要で,

とおける.

さらに の時, だからでもであることが必要だが, はこの区間内にあるがだから矛盾する. よっては周期関数ではない.

【解説】

(1), (2)は を使うと早い．